مقاله توزيع پوآسون و نرمال

مقاله توزيع پوآسون و نرمال

توزيع پواسن

متغيرهاي تصادفي دو جمله اي و فراهندسي ،‌موفقيت ها را در يك نمونه گيري تعيين مي كند. ممكن است در پديده هايي با روندي از موفقيت ها رو به رو شويم و آگاهي از تعداد موفقيت ها مورد نظر باشد. به مثالهاي زير توجه كنيد.

در يك بازي بستكبال گلهايي را كه تيم مورد علاقه به ثمر مي رساند، روندي از موفقيت ها به دست مي دهد.

تعداد دفعه هايي كه قلاب ماهيگيري مورد حمله هاي ماهيان قرار مي گيرد،‌روندي از موفقيت ها است.

تعداد تصادف ها در جاده اي مورد نظر، روندي از موفقيتها است.

ترسم خطوط اضافي در پارچه بوسيله يك ماشين پارچه بافي، روندي از موفقيت ها را به دست مي دهد.

تعداد حبابهاي موجود در شيشه هاي توليدي يك كارخانه ساخت شيشه، روندي از موفقيت ها است.

مطالعه آماري تعداد موفقيت ها در بخشي از روند مورد نظر، اهميت دارد. تعداد گلهايي كه تيم مورد علاقه ما در نيمه اول به ثمر مي رساند،‌تعداد دفعه هايي كه به قلاب ماهيگيري در يك ساعت حمله مي شود، تعداد تصادف هاي در طول تابستان،‌تعداد خطوط اضافي كه در يك متر مربع ترسيم شده است و سرانجام، تعداد حبابهاي موجود در 5 متر مربع شيشه تعداد موفقيت ها در بخشي از روند مربوطه است. نمونه گيري در اينجا به معني گزينش آن بخش مورد نظر و شمارش تعداد موفقيت ها است. در مثال تعداد حبابها، هر قطعه شيشه 5 متر مربعي از توليد كارخانه يك نمونه به شمار مي آيد. در صورتي كه X را تعداد موفقيت ها تعريف كنيم، مجموعه مقادير X

X={و2و1و 0    …}

پيشامد (X=i) بيانگر قطعاتي است كه در هر يك از آنها تعداد i  حباب است،‌ P(X=i) درصد اين قطعات را تعيين مي كند. تعيين P(X=i) با روش نمونه گيري در عمل ناممكن است. از اين رو چگونه مي توان P(X=i) را تعيين كرد؟ (در قسمت 5 به اين پرسش پاسخ خواهيم داد) به هر حال تابع چگالي زير P(X=I) را ارائه مي دهد.

...

توزيع پوآسون

در مواردي كه در توزيع دو جمله اي n بزرگ باشد محاسبة احتمالات كاري پيچيده و مشكل مي گردد. از طرفي توزيع دو جمله اي در مواردي صدق مي كند كه d=p-q كوچك باشد، و يا به عبارت ديگر q و p نزديك به  باشند. در مواردي كه شرايط فوق صدق نكنند. (n بزرگ و احتمال ها نزديك بهم نباشند) از توزيع هاي ديگري بجاي توزيع دو جمله اي استفاده مي گردد.

به طور كلي اگر احتمال وقوع پيشامدي (q) كوچك باشد و  باشد آن پيشامد را نادر گويند. و منحني توزيع دو جمله اي از حالت تقارن خارج بوده و مورب مي گردد. چون در عمل با چنين وقايع نادري روبرو هستيم، داشتن يك توزيع تقريبي براي چنين مواردي ضروري است. چنين توزيعي بنام توزيع پواسون معروف است.

در توزيع دو جمله اي اگر تعداد دفعات آزمايش (n) بتدريج كه p كوچك و كوچكتر مي گردد، بزرگ و بزرگتر شود، مقدار  (لاندا) ثابت مي ماند. به عبارت ديگر توزيع دو جمله اي باينومييال وقتي n به سمت بي نهايت و p به سمت صفر ميل كند و np ثابت بماند، به توزيع پويسون تبديل مي گردد. بنابراين احتمال وقوع X  پيشامد در n آزمايش به صورت زير محاسبه مي گردد.

پايه لگاريتم طبيعي = 718828/2 e=

در اين فرمول بجاي np از حرف يوناني  استفاده شده است. بنابراين توزيع پويسون يك حد از توزيع باينومييال است. در اين مورد نيز ثابت مي شود كه ميانگين و واريانس توزيع پويسون برابر با  است.

مقدار  به مفهوم زير است:

 يا به طور كلي  بوسيله ماشين حساب حاصل مي شود.

توزيع پويسون تنها به عنوان تقريب توزيع دو جمله اي بكار نمي رود،‌بلكه به عنوان يك الگو براي بررسي وقايعي كه به طور تصادفي و به طور نادر در زمان و مكان توزيع مي شوند نيز مورد استفاده واقع مي شود. براي مثال مي توان تعداد پنچري طاير در يك هفته، تعداد اصابت گلوله در يك هدف گيري، و تعداد موارد گزارش شده از يك بيماري كمياب و غيره را نام برد. از توزيع پويسون در بازرسي و كنترل كيفيت كالاها، وقتي تعداد كالاهاي معيوب نسبت به توليد كل كم باشد، به منظور محاسبة احتمال ها استفاده مي شود.